Narek Grigorjan pierwsze kroki w karierze zawodniczej stawiał w Urartu Erywań. Występował w drużynach młodzieżowych, a później w rezerwach, zdobywając w sezonach 17/18 oraz 18/19 trzy bramki i notując sześć asyst na zapleczu ormiańskiej ekstraklasy. Przed sezonem 2019/20 został wypożyczony do lokalnego rywala z drugiego poziomu rozgrywkowego macierzystego kraju - BKMA Erywań. W ciągu dwóch lat był wyróżniającą się postacią tamtejszej ligi, zdobywając aż 21 bramek i dokładając do dorobku 26 asyst.
Sezon 2021/22 po powrocie z wypożyczenia dwudziestolatek rozpoczął w Urartu. Wystąpił w 18 meczach ormiańskiej ekstraklasy, strzelił cztery gole i zaliczył asystę. Od kilku lat jest podporą oraz kapitanem młodzieżowych reprezentacji Armenii. Zaliczył również dwa występy w seniorskiej kadrze. Utalentowany skrzydłowy jest jedną z największych nadziei ormiańskiego futbolu.
- Grał tu mój trener (Robert Arzumanyan, przyp. red.) i wiem, że Jagiellonia to dobry klub. Bardzo chciałem tutaj trafić i grać dla tej drużyny, w tej lidze. Liczę na to, że wspólnie wygramy wiele spotkań - powiedział klubowym mediom Narek Grigorjan po podpisaniu kontraktu z Jagiellonią.
Przypomnijmy, wcześniej do Żółto-Czerwonych dołączył Filip Piszczek. 26-letni napastnik podpisał z naszym klubem półroczny kontrakt z opcją przedłużenia o dwa lata. Dotychczas reprezentował barwy Cracovii.