Nowy zawodnik wicemistrzów Polski karierę piłkarską rozpoczął w Zniczu Pruszków. Stamtąd przeniósł się do. W 2006 roku związał się z Anprelem Nowa Wieś, a następnie trafił do Piasta Piastów, skąd przeniósł się do GLKS Nadarzyn. W barwach GLKS-u wywalczył awans z III do II ligi. 55 meczów i 16 goli zwróciło uwagę silniejszych zespołów i tak po rozpoczęciu sezonu 2010/2011 obrońca zmienił Nadarzyn na Zawiszę Bydgoszcz.
Zmianie uległo miejsce gry, natomiast Kuba wciąż parł do przodu. W pierwszym sezonie bydgoszczanie wywalczyli awans na zaplecze ekstraklasy. Niewiele brakowało a już w kolejnych rozgrywkach zespół Wójcickiego wywalczył kolejny awans. Do promocji zabrakło dwóch punktów, ostatecznie w tamtym sezonie do grona najlepszych zespołów w Polsce wróciły Pogoń Szczecin oraz Piast Gliwice. Kolejnych rozgrywki Zawisza zakończył już na pierwszym miejscu. W obu kampaniach Kuba był podstawowym zawodnikiem bydgoskiego klubu. Rozgrywał 59 meczów i zdobył 11 bramek.
Sezony 2013/2014 oraz 2014/2015 były dla Kuby najlepszymi w dotychczasowej karierze. Pierwszy został zwieńczony zdobyciem Pucharu Polski, drugi rozpoczął się od sięgnięcia po superpuchar. Na szczególną uwagę zasługuje też fakt, że w pierwszym sezonie po awansie Wójcicki zagrał w 37 spotkaniach ligowych, a przez całe rozgrywki obejrzał tylko dwie żółte kartki. W kolejnym sezonie opuścił tylko jedno spotkanie, ale znów bardzo rzadko trafiał do sędziowskich notesów, oglądając w całym sezonie tylko trzy kartoniki żółtego koloru.
Ostatnie dwa i pół roku Jakub Wójcicki spędził natomiast w Cracovii. O sprowadzenie zawodnika pod Wawel zabiegać zaczął jeszcze Robert Podoliński, do transferu doszło jednak już gdy szkoleniowcem Pasów był Jacek Zieliński. Rundę jesienną trwającego sezonu Wójcicki przepracował już ze znanym dobrze w Białymstoku Michałem Probierzem, który ponownie modelując swój zespół uznał pod koniec ubiegłego roku, że Wójcicki nie będzie mu już potrzebny.
- Cieszę się, że tak szybko udało się wszystko zorganizować. Najważniejsze było, abym udał się z drużyną na zgrupowanie. Zdaję sobie sprawę, że podczas zgrupowania czeka mnie walka o wyjściową jedenastkę, dlatego chcę pokazać się z możliwie najlepszej strony - powiedział w rozmowie z redaktorami oficjalnej internetowej strony białostockiego klubu, Jakub Wójcicki.
